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1.5 次微分, 屬於 "分數微積分(fractional calculus)" 的範疇.


令 D 代表微分算子, 它等同於 (d/dx), 如果自變數是 x.


以 x^n 的微分來說, 做 k 次微分:
　D^k(x^n) = n(n-1)...(n-k+1)x^{n-k} = [n!/(n-k)!]x^{n-k}

用 gamma 函數表不,
　D^k(x^n) = [Γ(n+1)/Γ(n-k+1)]x^{n-k}

現在允許微分非整數次,
　D^r(x^n) = [Γ(n+1)/Γ(n-r+1)]x^{n-r}

所以,
　D^{1.5}(x^2) = (2!/Γ(2-1.5+1))x^{2-1.5} = (2/Γ(1.5))x^0.5 =(4/√π)√x

　D^{1.5}(x) = (1!/Γ(1-1.5+1))x^{1-1.5} = (1/Γ(0.5))x^{-0.5} = (1/√π)(1/√x)

不過, 對常數項的 1.5 次微分如果套用這樣的算法將是:
　D^{1.5}(1) = D^{1.5}(x^0) = (0!/Γ(0-1.5+1))x^{0-1.5}
　　=(1/Γ(-0.5))x^{-1.5} = [1/(-2√π)]x^{-1.5} = [-1/(2√π)]x^{-1.5}

但如果先做整數微分:
　D^{1.5}(1) = D^{0.5}D(1) = D^{0.5}(0) = 0

如果統一把 D^r f(x) 先做整數微/積分, 而化成只需考慮 0<1 的
分數微積分, 例如:
　D^{1.5}f(x) = D^{0.5}(Df(x))
　D^{-0.5}f(x) = D^{0.5}(D^{-1}f(x)) = D^{0.5}( ∫ f(x) dx )

則可考慮 0<1 時分數微分的另一種定義:
　D^r f(x) = (1/Γ(1-r))D( ∫_[0,x] f(t)/(x-t)^r dt )

如果考慮 D^{0.5}(1), 兩種算法都得到 1/√(πx), 但對 1/√x 做 0.5 次
微分卻無法利用第一種算法 (因 Γ(0) 無定義); 而第二種算法得到
D^{0.5}(1/√x) = 0. 這符合 D^{0.5}(D^{0.5)(1)) = D(1) = 0.


D^{-0.5} f(x) 又等於對 f(x) 做 0.5 次積分: 令 J 代表積分算子, 則
　J^{0.5} f(x) = (1/Γ(r))∫_[0,x] (x-t)^{r-1}f(t) dt

所以前述第二種, 針對 0<1 等於是定義
　D^r f(x) = D(D^{r-1} f(x)) = D(J^{1-r}f(x))
那麼,
　D^{-0.5}f(x) = D^{0.5}D^{-1}f(x) = D^{0.5}(J(f(x)))
　　　　　　= D(J^{0.5}(J f(x))) = D(J(J^{0.5}f(x))) = J^{0.5}f(x).


回到原問題,
D^{1.5}(x^2} = (4/√π)√x,
D^{1.5}(x) = (1/√π)(1/√x)
D^{1.5}(1) = 0
故
D^{1.5}(x^2+x+2) = (4/√π)√x + (1/√π)(1/√x) = (1/√π)(4√x+1/√x).

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